Perkalian Dot dan Cross Vektor

Perkalian vektor dibedakan menjadi:

A. Perkalian Vektor dengan Skalar

Hasil kali antara vektor dengan skalar adalah vektor, contoh: hasil kali vektor kecepatan dengan waktu adalah perpindahan, hasil kali massa dengan vektor kecepatan adalah vektor momentum.

B. Perkalian Titik $(dot\;product)$

$\vec{A}.\vec{B}=\left |\vec{A}\right | \left |\vec{B}\right |cos\;\alpha$

Hasil perkalian dot product adalah skalar

Contoh : $W=F.s$ dan $P=F.v$

Perkalian vektor satuan dapat dituliskan sebagai berikut:

$\hat{i}.\hat{i}=1$

$\hat{j}.\hat{j}=1$

$\hat{k}.\hat{k}=1$

sedangkan $\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0$

1. Contoh Soal

Jika dua vektor A dan B dinyatakan dengan:

$A=2\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$

$B=-2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}$

maka berapakah hasil perkalian dot product kedua vektor

A. -2

B. 2

C. 14

D. -8

E. -10

Pembahasan

$A.B=(2\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}).(-2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k})$

$A.B=(-4)+6+(12)= 14$

2. Contoh Soal

Diketahui vektor $A=2\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k}$ dan $B=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$. Sudut antara A dan B adalah?

A. $90^{\circ}$

B. $60^{\circ}$

C. $53^{\circ}$

D. $45^{\circ}$

E. $30^{\circ}$

Pembahasan

Berdasarkan rumus perkalian dot

$A.B=(2\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k}).(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})$

$A.B=2+10+(-12)= 0$

dan 

$\left |A \right |=\sqrt {2^{2}+5^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+25+16}=\sqrt{45}$

$\left |B \right |=\sqrt {1^{2}+2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$

maka:

$\vec{A}.\vec{B}=\left |\vec{A}\right | \left |\vec{B}\right |cos\;\alpha$

$0=\sqrt{45}.\sqrt{14}\;cos\;\alpha$

$0=cos\;\alpha$

$\alpha=90^{\circ}$

3. Contoh Soal

Diketahui vektor $A=2\hat{i}+4\hat{j}-n\hat{k}$ dan $B=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$. Jika kedua vektor tersebut saling tegak lurus, maka nilai n adalah?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 

E. 5

Pembahasan

$\vec{A}.\vec{B}=\left |\vec{A}\right | \left |\vec{B}\right |cos\;\alpha$

$\vec{A}.\vec{B}=\left |\vec{A}\right | \left |\vec{B}\right |cos\;90^{\circ}$

$(2\hat{i}+4\hat{j}-n\hat{k}).(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})=\left |\vec{A}\right | \left |\vec{B}\right |(0)$

$2+8-2n=0$

$10-2n=0$

$2n=10$

$n=5$

C. Perkalian Silang $(cross\;product$)

$\vec{A}\times\vec{B}=\left |\vec{A}\right | \left |\vec{B}\right |sin\;\alpha$

Hasil perkalian cross product adalah vektor

Contoh : $\tau=r\times F$ 

Perkalian vektor satuan dapat dituliskan sebagai berikut:

$\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}$

$\hat{j}\times\hat{k}=\hat{i}$

$\hat{k}\times\hat{i}=\hat{j}$

dan 

$\hat{j}\times\hat{i}=-\hat{k}$

$\hat{k}\times\hat{j}=-\hat{i}$

$\hat{i}\times\hat{k}=-\hat{j}$

Sedangkan 

$\hat{i}\times\hat{i}=0$

$\hat{j}\times\hat{j}=0$

$\hat{k}\times\hat{k}=0$

Atau menggunakan metode searah jarum jam (+) dan berlawanan arah jarum jam (-)

Contoh Soal

Diketahui vektor $\vec{A}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$ dan $\hat{B}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$. Tentukan hasil perkalian silang antara vektor $\vec{A}$ dan $\vec{B}$?

Pembahasan

\begin{align} \vec{A}\times \vec{B}&=\left | \begin{matrix}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k} \\2&-1&3\\1&2&-2 \end{matrix} \right |\\ & = \left| \begin{matrix} \hat{i} &  \hat{j} & \hat{k} & | &  \hat{i} & \hat{j}  \\ 2 & -1 & 3 & | & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & | & 1 & 2  \end{matrix}   \right| \\ & =  (-1.(-2) \hat{i} + 1.3\hat{j} + 2.2\hat{k}) - (2.3\hat{i} + 2.(-2)\hat{j} + 1.(-1)\hat{k})    \\ & =  (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) - (6\hat{i} -4\hat{j} -\hat{k})    \\ & =  2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k} - 6\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}    \\ & =  -4\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k} \end{align}

Jadi hasil dari $\vec{A}\times\vec{B}= - 4\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k} $

Share this post